详解三体问题的神秘特解-回顾“拉格朗日点”两百年来的梦幻

航天爱好者2021-11-23 15:59:00


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上一期文章中讲述TRAPPIST-1星系时,提到了斯皮策太空望远镜接近于地日L5点,以及韦伯太空望远镜预计进入的地日L2点的环绕轨道。很多小伙伴们便问道这个L点到底代表着什么,有什么特殊的意义,为什么造价几十亿美金的天文望远镜非要前往这个点的轨道。今天就让我们来解释下这看似不愠不火,实则有着非凡意义和用处的L点本文作者:Saturn V(土星五号),顺便说一下猎鹰9下一次发射瞄准3月12日,具体能否准时发射取决于当地时间3月8日的静态点火。


L1-L5点的相对位置图


熟悉的感觉,熟悉的味道!挖你的员工,抄你的火箭!贝光头果然是商海老油条,这场回收火箭的大戏越来越好看了。而孤独的SpaceX终于有了学生!一个相爱相杀的学生!

地月L点相对距离

L点是英文Lagrange Point的简写,中文常译为拉格朗日点,或称平动点Liberation Point,总而言之离不开L。拉格朗日点其实在日本动漫,尤其是科幻的高达系列(一部著名的近未来科幻背景的系列动画作品,国内又译“敢达”,台湾地区译为“钢弹”,主页菌注)中经常出现。在现在被称为“始祖高达”的第一部高达《机动战士高达0079》中,作为反派的吉翁公国的大本营,Side 3大型殖民空间站便是在环绕地月L2点的稳定轨道中。

在高达0079的宇宙纪元里,所有的太空殖民空间站均位于地月L点宇域

而在《高达S.E.E.D》中的P.L.A.N.T.则更加宏伟,120座60千米长的大型殖民空间站群建在地月L5宇域。哪怕到更接近现实的《高达00》中,依然可以看到位于地月L4和L5的大型殖民空间站。

高达S.E.E.D,C.E.纪元中位于地月L5的沙漏型空间站集群

高达00系列中公元2312年建立的位于L4的殖民卫星“辉煌”,用以开采重定向后的小行星里的贵金属

高达系列中屡屡将能容乃上万乃至上百万人口的空间站放置在拉格朗日点是有原因的,5个拉格朗日点的特性使其非常适合放置大型人造物体而不用担心轨道调整和维持问题。事实上在美国联合发射联盟(ULA)公布的未来30年的太空计划中都可看到拉格朗日点的身影。

ULA地月太空计划图。第三幅图中标示的EML-1及地月L1点(Earth-Moon Liberation Point-1)

熟悉英文的小伙伴估计已经发现,Lagrange这个拼写并不是英文。没错,拉格朗日点是以法国籍意大利裔数学家和天文学家约瑟夫•拉格朗日命名,对于学习天文学和现代力学的人来说,拉格朗日的名字可谓如雷贯耳,拉格朗日方程可谓是现代力学的核心,为后续的天体力学和分析力学奠定了基础。

约瑟夫•拉格朗日

1736年1月25日出生在意大利都灵的拉格朗日在年仅19岁时便因出色的数学天赋被时任普鲁士科学院数学部主任的欧拉所赏识,被任命为都灵皇家炮兵学校教授,开始进行数学研究。1766年仅30岁的拉格朗日成为普鲁士科学院数学部主任,推荐他的正是他的博士导师,上任数学部主任欧拉。要知道这位欧拉可不是一般人,莱昂哈德•欧拉是近代数学先驱之一,现在耳熟能详的数学常数e正是为纪念欧拉(Euler)而选。

拉格朗日改变世界的著作Mécanique Analytique(分析力学)

在拉格朗日一生诸多成就当中,对天文学的最大贡献莫过于对限制性三体问题的研究以及提出的5个特殊解,后人为纪念拉格朗日将这5个特殊解以他的名字命名,拉格朗日点因此而来。看过刘慈欣科幻小说“三体“的都知道,三体问题是指三个质量在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题。虽然此问题已被证明无解,但如果加上“其中一个质量过小而无法对剩余两个质量造成影响”这个限制后,限制性三体问题便有了特殊解。1767年欧拉,也就是拉格朗日的导师,推算出旋转的二体引力场有三个特殊点,如果放入第三个物体可以使其与前两个物体相对静止。欧拉发现的这三个位于两个大质量物体轴线上的点,便是日后的L1,L2和L3。

限制性三体问题图示,欧拉发现的点均在上图的X-轴上。M和M1,M2比质量过小而不影响M1和M2的运动轨迹。M1,M2可为地球和月亮,也可为地球和太阳,因而涉及地球的拉格朗日点其实有两组。

1772年拉格朗日在欧拉的基础上进一步推算出另外两个不在两个大质量物体轴线上的点,及日后的L4和L5。拉格朗日进一步证明L1,L2,L3均为单向不稳定平衡点,及如果有物体在上述三个平衡点,任何垂直于轴线的移动都会被推回平衡点(Y-轴移动),但平行于轴线的移动则会使该物体迅速离开平衡点(X-轴移动)。与之相反L4和L5是稳定平衡点,及在这两个平衡点的物体,任何方向的移动都会被推回平衡点,进而能一直保持此物体和两个大质量物体的相对位置。

地球和太阳的引力势能示意图(非真实比例)。拉格朗日的推算简而言之是以能量而不是力为基础,计算出两个质量的引力势能方程,通过微积分求出此方程的极值,再通过二阶导数判断此极值为高值(不稳定平衡),低值(稳定平衡),还是拐点(单向不稳定平衡)

根据拉格朗日的理论,L1,L2和L3三点因不稳定不会存在天然形成的天体,但L4和L5上则会存在。随后的太空观测证实了此理论,土卫三(Tethys)和土星的L4点有土卫十三(Telesto),L5点则有土卫十四(Calypso)。土卫四(Dione)和土星的L4点有土卫十二(Helene),L5点则有土卫三十四(Polydeuces)。2010年天文学家在地日L4点上发现了小行星2010TK7,是人类发现的第一颗和地球共用公转轨道的小行星。

2010TK7的轨道(绿线)。由于太阳系其他星体引力的影响2010TK7会环绕地日L4点做周期性运动,不过其公转周期依然是不多不少正好1.00地球年。

从2010TK7上看地球和月球

拉格朗日点的天然能量稳定让进入此点的太空飞行器可只需少量,甚至不需要燃料便可维持自身轨道。对于大型乃至巨型空间站来说,地日和地月拉格朗日点,尤其是L4,L5两个稳定平衡点无疑是最佳选择。与之相比现在最大的太空设施,全重大约420余吨的国际空间站每年要消耗近3.7吨燃料维持轨道,同时还需要航天飞机,ATV飞船和进步货运飞船定期助推升轨。

正在进行升轨作业的“奋进”号航天飞机

可以看到每一次升轨点火后国际空间站的高度会突然增加,之后又逐渐降低,这是因为400余千米高度仍然有少量大气阻尼,致使国际空间站减速。

这里不得不回头佩服下高达系列动画设定的严谨性。0079中甚至还原了Side 3环绕L2点的稳定轨道,这是因为如前文所示L2为单向不稳定平衡点,因而人造卫星需要横向环绕L2点以保持纵向平衡,此环绕轨道在天文学上被称为利萨如轨道。S.E.E.D中大量的P.L.A.N.T.殖民卫星群近距离环绕统一轨道显然太过危险,于是便将放在绝对平衡的L5点。L4和L5两点同样适合放置小行星,于是高达00里负责开采小行星贵重金属资源的人造卫星便悉数位于L4和L5。

以拉格朗日理论画出的地月等引力势能图。和高达0079中的殖民地图相比便会发现位于L4的Side 2,6和位于L5的Side 1,4的环绕轨道都正好在L4和L5最外缘的等势能线上(图中L4,L5蓝色三角处),构思巧妙不得不服。

对于太空望远镜等无人探测器来说,拉格朗日点带来的不仅是易于进行观测的稳定轨道,不同拉格朗日点特殊的位置还为探测器提供了独一无二的太空环境。日本的飞天号月球探测器利用地月L4和L5的天然平衡,仅消耗少量燃料便进入月球轨道。不过地月拉格朗日点远没有地日拉格朗日点位置特殊,所以现在没有任何探测器在任何地月拉格朗日点工作。

LISA进入地日L1点的轨道及环绕L1点的轨道示意图。

由于地日L1点介于地球和太阳之间,远离地球可避免地球磁场对太阳风的干扰,而地日L1点非常适合研究太阳风并为地球提供太阳风预警,NASA负责采集太阳风粒子的起源号便曾部署在此。作为利用最充分的地日拉格朗日点,地日L1点现在有5个探测器,分别为WIND太阳风探测器,太阳和太阳圈探测器(SOHO),先进成分太阳风预警探测器(ACE),深空地球环境观测器(DSCOVR)和激光干涉空间天线开路者号(LISA)。这其中DSCOVR为深空地球观测卫星,LISA为太空引力波望远镜的技术实验卫星。

进入地日L2点利萨如轨道的示意图

地日L2点则正好和L1点相反。由于位于地球背对太阳一侧且相对静止,地球会一直阻挡地日L2点的阳光,这使得L2点成为许多需要躲避太阳光干扰的探测器的去处。NASA的威尔金森微波各向异性探测器(WMAP)和ESA的赫歇尔空间望远镜(FIRST)都先后在地日L2点工作,中国的嫦娥二号探测器也曾短暂在地日L2点停留。现在仅有ESA的盖亚空间望远镜(Gaia)在环绕L2点的利萨如轨道上工作,不过很快韦伯太空望远镜会去找它作伴。

韦伯太空望远镜预计进入地日L2点的飞行轨道。

地日L3点是距离地球最远的拉格朗日点,恰好位于地球公转轨道另一端的L3点被太阳完全阻挡,因而无法观测和通讯。外加上天然的不稳定平衡,地日L3点并无利用价值。

斯皮策太空望远镜环绕太阳的“漫漫长路”

地日L4和L5点虽然是最好的天然稳定平衡点,但因距离地球较远,以现阶段科技难以有效利用。除去前文中提及的2010TK7小行星及可能的其他小行星或星云外,并无任何人造物体在L4和L5点。其中曾比较接近的为斯皮策太空望远镜(接近L5),日地关系观测器-A(STEREO-A,接近L4)和日地关系观测器-B(STEREO-B,接近L5),这三位都是在自己的环太阳轨道上短暂掠过了L4或者L5。

在地球一前一后拍摄3D太阳照片的双子探测器STEREO,注意图中也标出了前文中提及的位于地日L1点的SOHO太阳探测器。

1813年4月10日,77岁高龄约瑟夫•拉格朗日在巴黎的家中去世,随后被葬在法国巴黎的先贤祠。作为法国科学界三L之一的拉格朗日,直到死之前都还在修改完善自己的著名著作“分析力学”。200余年后的今天,以拉格朗日理论为基础的拉格朗日点空间站也终于进入规划日程。或许对这位数学和天文学天才最好的致敬,便是在以他命名的平衡点,完成他曾经仰望星空却想都不敢想的愿望。

有朝一日,此图能否成为现实?



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